微分求积升阶谱有限元方法及其在薄板自由振动中的应用

《微分求积升阶谱有限元方法及其在薄板自由振动中的应用》是一篇探讨新型数值计算方法在结构力学领域中应用的学术论文。该论文主要研究了微分求积升阶谱有限元方法（DQ-RSFEM）的基本原理及其在薄板自由振动分析中的实际应用，旨在为工程结构的动态特性研究提供更加高效和精确的数值工具。

微分求积升阶谱有限元方法是一种结合了微分求积法（Differential Quadrature, DQ）与升阶谱有限元法（Rational Spectral Finite Element Method, RSFEM）的混合数值方法。微分求积法以其高精度和高效的计算能力著称，能够在较少的节点数下获得较高的数值解精度；而升阶谱有限元法则利用了正交多项式作为基函数，能够有效提高离散化后的逼近精度。两者的结合使得该方法在处理复杂几何结构和非线性问题时具有显著优势。

在论文中，作者首先介绍了微分求积升阶谱有限元方法的基本理论框架，包括其数学基础、离散化过程以及如何将该方法应用于薄板结构的自由振动分析。通过对薄板结构进行网格划分，并采用升阶谱基函数对位移场进行近似，进而建立相应的动力学方程。该方法通过引入微分求积法对偏微分方程进行离散化，从而实现对结构动力响应的高效求解。

随后，论文详细讨论了该方法在薄板自由振动问题中的具体应用。薄板结构广泛存在于航空航天、机械制造和土木工程等领域，其自由振动特性对于结构设计和优化至关重要。传统的方法如有限元法虽然在某些情况下能够取得较好的结果，但在处理高频率振动或复杂边界条件时可能存在精度不足或计算量过大的问题。而微分求积升阶谱有限元方法则在保持较高精度的同时，有效降低了计算成本，提高了求解效率。

为了验证该方法的可行性与有效性，论文通过多个数值算例进行了对比分析。这些算例包括不同边界条件下的矩形薄板、圆形薄板以及带有孔洞的薄板结构。结果表明，微分求积升阶谱有限元方法在计算精度和收敛速度方面均优于传统方法，尤其是在高频率振动分析中表现尤为突出。此外，该方法还表现出良好的稳定性，能够适应多种复杂的几何形状和边界条件。

除了在薄板自由振动中的应用，论文还指出该方法在其他结构动力学问题中的潜在价值。例如，在梁结构、壳体结构以及复合材料结构的动力学分析中，微分求积升阶谱有限元方法同样可以发挥重要作用。这不仅拓展了该方法的应用范围，也为后续研究提供了新的方向。

总的来说，《微分求积升阶谱有限元方法及其在薄板自由振动中的应用》这篇论文为结构动力学领域的数值计算方法提供了一种新的思路和工具。通过结合微分求积法和升阶谱有限元法的优势，该方法在保持高精度的同时提升了计算效率，具有重要的理论意义和工程应用价值。