高阶线性微分方程解与其小函数的增长性

《高阶线性微分方程解与其小函数的增长性》是一篇关于复分析与微分方程理论的重要论文。该文主要研究了高阶线性微分方程的解在复平面上的行为，特别是这些解与小函数之间的关系。通过对微分方程解的增长性进行深入分析，作者揭示了高阶线性微分方程在复域中的结构和性质，为相关领域的研究提供了新的视角和方法。

高阶线性微分方程是数学中一个重要的研究对象，广泛应用于物理、工程以及理论数学等领域。这类方程的形式通常为：L(y) = a_n(z)y^{(n)} + a_{n-1}(z)y^{(n-1)} + ... + a_0(z)y = 0，其中a_i(z)是解析函数或整函数。论文中，作者关注的是当系数a_i(z)具有某种特殊性质时，方程的解的生长行为如何变化。

在复分析中，小函数是一个重要的概念，指的是相对于某个整函数而言增长速度较慢的函数。例如，如果f(z)是一个整函数，而g(z)是一个满足lim_{r→∞} (log |g(r)|)/(log |f(r)|) = 0的函数，则称g(z)为f(z)的小函数。论文中，作者通过引入小函数的概念，探讨了高阶线性微分方程的解与小函数之间的关系，从而进一步理解了这些解的渐近行为。

论文的核心内容之一是对高阶线性微分方程解的增长性的研究。作者利用亚纯函数理论、Nevanlinna理论以及微分方程的某些经典结果，分析了在不同条件下，方程的解的增长率。他们发现，当微分方程的系数满足一定条件时，其解的增长性可以被精确刻画，并且这些解与某些小函数之间存在密切联系。

此外，论文还讨论了高阶线性微分方程的解的零点分布问题。通过研究解的零点密度及其与小函数的关系，作者得出了一些关于零点分布的新结论。这些结论不仅丰富了微分方程理论，也为后续研究提供了理论基础。

在方法上，论文采用了多种数学工具，包括复分析中的Tumura-Clunie定理、Malmquist定理等，以及一些经典的微分方程理论。这些方法的结合使得作者能够从多个角度分析高阶线性微分方程的解的性质。同时，作者还通过构造具体的例子来验证他们的理论结果，增强了论文的说服力。

论文的另一个重要贡献在于对小函数概念的应用扩展。传统上，小函数主要用于研究整函数的性质，而本文则将其推广到微分方程的解的研究中。这种推广不仅拓宽了小函数的应用范围，也为其他相关领域提供了新的思路。

总的来说，《高阶线性微分方程解与其小函数的增长性》是一篇具有较高学术价值的论文。它不仅深化了对高阶线性微分方程的理解，也为复分析和微分方程理论的发展做出了重要贡献。论文的研究成果对于从事复分析、微分方程以及相关领域的研究人员具有重要的参考价值。